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“无限”和“无限+1”谁更大?

栏目:财经    时间:2023-02-03 23:41   来源: IT之家   阅读量:19942      关键词:

在漫威漫画的大片《复仇者联盟3:决战》的最后,托尼·斯塔克通过预先录制的全息影像向他年幼的女儿道别:我爱你3000次这个感人的时刻与之前的一个场景相呼应,两个人正在举行一个有趣的睡前仪式,以量化他们对彼此的爱史塔克的扮演者小罗伯特·唐尼说,这句台词的灵感来自于他和自己孩子的类似交流

我爱你十次。

但我爱你一百次。

嗯,我爱你一百零一次!

这也是Gugor Plex成为流行词的原因。但是我们都知道这场辩论的最终结果:

我无限爱你!

哦,真的吗。我无限爱你加一!

无论是在操场上,还是在睡前的交流中,孩子们早在数学课之前就已经接触到了无穷这个概念,并自可是然地爱上了这个神秘,复杂而又重要的概念有些孩子长大后会成为着迷于无穷的数学家,而另一些孩子会发现关于无穷的新事物

你可能知道有些数字集合是无限的,但你知道有些无限比其他的更大吗而你知道吗,我们并不确定在两个最熟悉的无限之间是否还有其他的无限数学家们思考第二个问题至少已经有一个世纪了,最近的一些工作改变了人们对这个问题的看法

要解决集合大小无限的问题,我们先从更容易计数的集合开始集合是对象或元素的集合,有限集合是包含有限个对象的集合

有限集合的两个例子,每个都有四个元素。

确定一个有限集的大小很容易:只需计算它包含的元素数量因为集合有限,所以可以全部统计,最后可以知道集合的大小

这个策略不适用于无限集下面是一组自然数,表示为

这个收藏有多大因为没有最大自然数,所以试图计算元素个数是不可行的一种解决方法是简单地声明这个无限集合的大小是无限的,这没有错,但是当你开始探索其他无限集合时,你会意识到这也不完全正确

既然每一个自然数都是实数,那么实数的集合至少和自然数的集合一样大,所以一定是无穷的。

但如果认为实数集的大小和自然数集的大小是同一个无穷大,那就有些不完善了为了证明这一点,随便选两个数字,比如3和7这两个数之间总有有限的自然数:这里是4,5,6但它们之间总有无穷多个实数,比如3.001,3.01,π,4.01023,5.666等等

值得注意的是,无论任何两个不同的实数之间的距离有多近,中间总有无穷个实数虽然这一事实并不意味着实数集和自然数集的大小不同,但它确实说明了这两个无穷集之间存在一些本质的区别,值得进一步研究

数学家康托在19世纪末对此进行了研究他证明了这两个无限集合确实大小不同要理解和欣赏他是如何做到的,首先要明白如何比较无限集合其中用到的秘密手段是所有数学课的主要内容:函数

的函数表达式,笛卡尔坐标平面上的抛物线图,或输入平方加1等函数对应但是在这里,我们将函数视为一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素相匹配的方式

假设其中一个集合是一组自然数。我们选择所有偶数组成另一个集合,称之为s,这里是我们的两组:

有一个简单的函数可以把的元素转换成S的元素:f =2x这个函数只是把它的输入加倍,所以如果我们把的元素看成F的输入,输出总是s的元素,比如f =0,f =2,f =4,f =6等等

您可以直观地展示这一点:将两个集合的元素并排放置,并使用箭头显示函数F如何将输入转换为s中的输出。

注意F如何将S中的一个元素对应到中的每个元素这是函数,但这里F很特殊首先,F将S中的所有内容分配给中相应的元素用泛函的术语,我们说S的每一个元素都是N的一个元素在函数f下的像,比如S中的偶数3472,我们可以在中找到一个X,这样f = 3472在这种情况下,我们说函数F映射到s,更花哨的说法是函数F是满射的不管怎么描述,重要的是当函数f把S中的输入转换成输出时,S中的任何东西都不会在这个过程中丢失

F如何将output赋值给input的第二个特殊之处是,中的两个元素并不转换为S中的相同元素,5和11是S中不同的自然数,它们在S中的输出也是不同的:10和22在这种情况下,我们说F是1对1我们把F描述为内射的这里的关键是S中的任何东西都不会被重用:S中的每个元素只与S中的一个元素配对

F的这两个特性以一种强有力的方式结合在一起函数F在和S的元素之间创建了完美的匹配,F是满射的,这意味着S中的所有元素都有一个伙伴在其中,而F是1对1,这意味着S中的任何元素都没有两个伙伴在其中简而言之,函数f将的每个元素与s中的唯一元素配对

同时是内射和满射的函数称为双射,它在两个集合之间建立了一对一的对应关系这意味着一个集合中的每个元素在另一个集合中恰好有一个对应的元素,这是表明两个无限集合具有相同大小的一种方式

由于我们的函数f是一个双射,它表明这两个无限集合和S具有相同的大小这似乎令人惊讶:毕竟每一个偶数自然数本身都是自然数,所以它包含S和更多不应该比s大吗如果我们处理的是有限集,答案是肯定的但是一个无限集合可以完全包含另一个无限集合,同时它们大小相同就像无限加一并不比普通的无限更有爱一样,这也只是无限集众多令人惊叹的性质之一

更令人惊讶的是,这里有无数大小不一的藏品前面我们讨论了实数和自然数的无穷集的不同性质,康托尔证明了这两个无穷集大小不同他用一个聪明而著名的对角线论证做到了这一点

因为任意两个不同的实数之间都有无穷多个实数,所以我们现在只关注0到1之间的无穷多个实数这些数字中的每一个都可以被认为是十进制展开,就像这样

等等都只是数字符号,但是我们要求不是所有的数字都是0,所以我们不把数字0本身包含在集合中。

对角线论证从一个问题开始:如果自然数和实数之间存在双射,会发生什么如果有这样的双射,那么这两个集合的大小是相同的您可以使用该函数将0到1之间的每个实数与一个自然数进行匹配

不一样,等等。

这个实数是由它与链表对角线的关系定义的那么它在名单上吗首先,它不能是列表中的第一个数字,因为它的第一个数字是不同的而且不能是数列的第二个数,因为它的第二个数不一样其实不可能是这个数列的第n个数,因为它的第n位数不一样这对于所有的n都成立,所以这个介于0和1之间的新数字不可能在列表中

但是0到1之间的所有实数都应该在列表上!这个矛盾产生于0和1之间的自然数和实数之间存在双射的假设所以不存在这样的双射这意味着这两个无限集合的大小不同利用函数做一些工作可以证明所有实数的集合与0到1之间的所有实数的集合相同,所以包含自然数的实数一定是一个更大的无穷集合

一个无限集合的大小的技术术语是它的基数对角线参数表示实数的基数大于自然数的基数自然数的基数写成0,读作aleph 0从数学的标准角度来看,这是最小的无穷大基数

下一个无穷大的基数是1,一个简单的问题困扰了数学家一个多世纪:1是实数的基数吗换句话说,自然数和实数之间还有其他的无穷大吗康托尔认为答案是否定的——这个论断后来被称为连续统假说——但他无法证明在20世纪初,这个问题被认为非常重要,以至于当戴维·希尔伯特列出23个著名的开放式数学问题时,他将连续统假设放在了第一位

一百年后,人类取得了巨大的进步,但这种进步也带来了新的谜团1940年,著名逻辑学家库尔特·哥德尔证明,在集合论普遍接受的规则下,无法证明自然数和实数之间存在无穷大这似乎是证明连续统假说的一大步但是20年后,数学家保罗·寇恩证明了不可能证明这样的无穷大不存在!最初的连续统假说无论如何都无法被证明

这些结果共同确立了连续统假说的独立性这意味着普遍接受的集合规则并不能完全解释自然数和实数之间是否存在无穷大可是,它并没有阻止数学家对理解无限的追求,而是将他们引向了一个新的方向数学家们现在正在寻找无穷集的新的基本规则,这些规则不仅可以解释关于无穷的已知情况,还可以帮助填补空白

说我对你的爱是独立于正义的也许没有说我爱你无限加一有趣,但也许能帮助下一代热爱无限的数学家睡个好觉。

练习

1.设T=1,3,5,7,…,即正奇自然数集T的元素个数是大于,小于还是等于自然数集N

答案:同样大小可以使用函数f =2x+1将n中的元素映射到t中对应的元素,这是通过同时使用onto和内射的方式来实现的这个函数是n和t之间的双射,因为有双射,所以集合的大小是一样的

2.求自然数集合和整数集合Z=…,3,2,1,0,1,2,3,…之间的一一对应关系。

答:一种方法是可视化配对列表,就像这样:

还可以尝试定义一个与元素匹配的函数。功能

映射到z是一一对应的所以整数和自然数一样多,这又是一个关于无穷大的神奇结论

翻译:营地,C

复习:云开叶落

原文链接:无穷大有多大

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